Clase de Walter Lewin sobre mediciones de espacio y tiempo





Lewin con un fémur de elefante






Nadie puede obviar las unidades de medida: la masa, v. gr. expresada v. gr. en kilogramos. Son como categorías. 
Sobre todo la más generales: masa, tiempo, longitud. 
A partir de allí hay submedidas o supramedidas o mejor aún, medidas derivadas, parándose en cada cual de cada una.

Así, la velocidad es una relación entre longitud y tiempo (v. gr. 60 Km./hora). Pero no se puede expresar mucho mejor, ya que su expresión contiene dos dimensiones de las dimensiones generales. 

Se pueden combinar las medidas derivadas, arbitrariamente, para jugar, por ejemplo pulgadas por año. 

El volumen es un potencia a tres de la longitud, 3D y a primera vista parece contener la idea de la simetría.  

Densidad es masa por volumen, (a su vez longitud al cubo: por tanto arrecian las inclusiones o derivaciones). 

La aceleración, es longitud dividida por el cuadrado del tiempo. 

Y el tiempo, ¿qué es? Longitud en relación a la velocidad, sin duda, físicamente hablando. 
Ahora bien, la velocidad era longitud entre tiempo, de modo que incluye a la dimensión general, por lo cual este cálculo parece anularse. 
La longitud es una dimensión bastante tonta con respecto a las otras dos, masa y tiempo, pues es una línea recta con principio y fin. También la masa, se supone que nadie ha sabido de la masa sino en relación a dos o más cuerpos, y por ende, la resistencia que se ejerce entre ellos. Se pudiera decir que la masa de un cuerpo no existe, aunque sería muy aventurado decir que un cuerpo tampoco existe. 

Lewin insiste en la importancia de la incertidumbre, que tiene este signo (±, ya sea entendido como suspensión de la fórmula o margen de error); en la medición de la altura de una persona, Lewin cuenta el ejemplo de su abuela, para quien una persona no mide lo mismo en una cama que de pie. También pudiera pensarse que en una persona el grosor o el ancho es menor ya que de repente éste se transforma en longitud. 
Entonces Lewin subraya que sólo hay medición "con sentido" si se considera la incertidumbre. 
Al medir una varilla verticalmente el margen de error ± es tan delirante como pueda ser: en una medición de 2.299 m, un milímetro puede escaparse ya que se habla de 99 milímetros. Horizontalmente la varilla mide, entonces, 2.3 m. 
Pero un estudiante de Lewin, objeto de experimento consecutivo a la varilla, mide poco más de 2 cm. más acostado. No se debe simplemente pensar en la diferencia entre la estructura subatómica de la varilla y la del estudiante, hay más cosas, la distensión del cuerpo acostado también debe agregarse. 

Para continuar con este tópico que le interesa tanto a Lewin, la incertidumbre, pondrá a prueba una idea de Galileo: según éste "los mamíferos, si fueran más grandes, su huesos, se quebrarían". Pero se supone que Galileo aquí era un sano fanático de la confusión de las matemáticas con la "realidad".
Tomando un fémur (proporcional, <>, a la masa, etc.), Lewin pone fórmulas simples a gran velocidad -simples, pero no para un lego- pero la conclusión será que la proporción, leit motiv de la clase, es un principio que falla cuando se lo aplica en todo caso. 
El animal tiene una masa, el fémur tiene una longitud "L" y tiene un grosor "d". 
Todo es proporcional. 

Más al detalle, la presión sobre el fémur es <> al peso del animal sobre el grosor, y ergo el peso es <> a d al cuadrado, porque d es grosor y no área (A). D, grosor, era una medida de longitud con otro nombre, una línea tendida horizontalmente, mientras que la longitud, una línea tendida verticalmente. 
Y por tanto todo eso debe ser proporcional a d, grosor, que a su vez sería proporcional a L, longitud, elevada al cubo (volumen) sobre 2 (área). 

De esta última proporción Lewin deduce que Galileo habría deducido que si una animal es 100 veces más grandes que otro, cien veces más largo sería su fémur, pero 30 veces más grande el grosor de éste último. Pero Lewin mide los fémures de un elefante, un mapache, una zarigüeya y un ratón y encuentra que entre todos ellos la escala funciona con proporción en cuanto a L, largo y tamaño (llamado S', ¿grosor?), pero que con respecto al grosor sobre la longitud (d sobre L) todas difieren sí, pero minúsculamente.
¿Pero por qué Lewin no lo dice así? ¿Debe ser rápido, debe omitirse el sentido para facilitar su uso, para internalizar la fórmula como quien manda hacer escalas en piano? ¿O es el MIT?

De modo que Lewin hará saltar las leyes, como si éstas tuvieran un vicio de origen. 
(A esta altura ya sería necesario ver la exposición de Lewin). 

Procederá entonces a lo que en física se llama el análisis dimensional: el ejemplo para experimentar será, curiosamente, el de una manzana al caer desde un punto x. 
El tiempo en caer entonces sería proporcional a la altura (+altura, +tiempo). Luego ha de incluir la masa de la manzana por la cual proyecta que demorará menos en caer (+masa, -tiempo).
Hay que agregar la aceleración gravitacional (la aceleración de duración de la caída a razón de la mayor masa terrestre). 
Ergo, el tiempo de caída de la manzana es proporcional a h, m y g, cada una elevada a una potencia con letra griega. 


[T]¹ = [H]•¹ [M]•² ([L]•³/[T]²•³)


Entonces aquí viene el revuelo, la ecuación, donde se confía que ambos lados de la ecuación son la misma dimensión:
T (tiempo) elevado a uno es igual a L (altura) elevado a alfa•¹ por M (masa) elevado a beta•² por g (aceleración gravitacional, cuya fórmula es más compleja: longitud dividida por el cuadrado del tiempo con ambos valores de la fracción elevada a gamma•³). 

A despejar entonces:

M (en una sola dimensión). Entonces queda. 
Hay dos L, por lo tanto desparece y quedan alfa y gamma que se suman y dan cero.
Hay dos T, ergo desaparece y quedan las potencias: 1 igual a -2 gamma (por estar abajo en la fracción). Y entonces gamma es igual a -1/2. 
Como alfa y gamma daban cero entonces alfa, a quien restaba gamma, tiene que ser igual a +1/2. 

Luego, -un poco más de esfuerzo-: el tiempo tan buscado será entonces un constante x (o C) por raíz cuadrada de h (altura) sobre g (aceleración gravitacional). H era igual a la potencia alfa que era igual a 1/2 y g era igual a la potencia gamma que era igual -1/2. Como x o C está dada porque es una incógnita, y g está dada por ser una derivada entre tiempo y longitud, quedará raíz cuadrada de h (altura).
La diferencia entre una manzana que cae a 8 mts. de otra que cae a 2, será la raíz cuadrada del cociente entre 8 y 2, es decir 4, (dos veces más demorará).

Primero, la predicción. Lewin tiene 2 manzanas, una a 3 mts y la otra a 1.5 mts. El cociente entre ambas es de 2 con la respectiva ±. Si para cada una de sus dos h, alturas, hay 3 mm de incertidumbre, la incertidumbre total es de 6 mm (se suman las dos en el cociente). Y la raíz cuadrada del cociente entre las dos alturas es igual a 1.4142135623731

Por último, el experimento. Midiendo la de 3 mts el tiempo es de 0.781 segundos. La de 1.5 mts dura 0.551 segundos. 
Ergo dividirá 0.781 / 0.551 con un resultado de 1.417
De modo que el análisis dimensional funciona con su margen de error necesario. 

Pero finalmente la masa no está contemplada en las condiciones de la caída, del tiempo de la caída. Así lo dice el análisis dimensional. 
Según Lewin, muchos físicos intentan hacer que sea un factor determinante, aunque él no parece estar de acuerdo. Por ahora. 





Fuente (fundamental)